Phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ pmùi hương trình Chulặng đề luyện thi Đại học tập môn Toán Ôn tập môn Toán thù Bài toán thù hệ pmùi hương trình Kĩ năng giải toán thù phương trình Bạn đang xem: Các phương pháp giải hệ phương trình ôn thi đại học
pdf
Bài giảng Tin học vận dụng nâng cao: Giải pmùi hương trình với hệ pmùi hương trình - Lê Viết Mẫn
pdf
Đề thi HSG môn Toán thù lớp 12 năm 2019-2020 - Ssống GD&ĐT Cao Bằng
Xem thêm: Ý Nghĩa Của Việc Short Link Bằng Goo Gl Là Gì, Goo Gl Là Gì
pdf
Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2019-20đôi mươi - Sngơi nghỉ GD&ĐT Vĩnh Phúc
Nội dung
www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại Học 2011MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHTham mê khảo Tạp chí THTT 2010Trong các đề thi ĐH trong thời gian gần đây, ta gặp gỡ tương đối nhiều bài bác toán về hệphương tr ình. Nhằm góp các bạn ôn thi xuất sắc, nội dung bài viết này chúng tôi xin reviews một sốdạng bài xích với tài năng giải.I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁPhường BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.điểm lưu ý tầm thường của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng thay đổi đồng hóa đặcbiệt là kỹ năng so sánh nhằm mục đích chuyển một PT vào hệ về dạng dễ dàng ( có thể rút theoy hoặc ngược chở lại ) rồi cầm cố vào PT còn lại vào hệ.*Loại sản phẩm nhất: Trong hệ bao gồm một phương thơm trình hàng đầu cùng với ẩn x hoặc y khi đó ta tìmbiện pháp rút ít y theo x hoặc ngược trở lại.22ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1)lấy ví dụ 1. Giải hệ pmùi hương trình í2( 2)ïî xy + x + 1 = xx2 - 1nuốm vào (1) taGiải. Dễ thấy x = 0 không vừa lòng PT(2) cần từ bỏ (2) ta có : y + 1 =xđượcx2 - 1 æx2 - 1 ö222x2.x+ç÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1)x èx øéx = 1Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại)êë x = -25Từ đó, ta được những nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - )2*Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể mang lại dạng tích của những phương thơm trìnhhàng đầu nhị ẩn.ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2(1)ví dụ như 2 . Giải hệ phương thơm trình í( 2)ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 yGiải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( trường đoản cú điều kiệnta bao gồm x + y > 0 )Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 nắm vào PT (2) ta được :32y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1)3(2)2 y - 2 = 0 ( vày y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5*Loại vật dụng ba: Đưa một phương thơm trình trong hệ về dạng pmùi hương trình bậc hai của một ẩn,ẩn còn lại là tmê mệt số.ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x )(1)lấy ví dụ như 3. Giải hệ phương thơm trình í 22( 2)ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0Giải .Biến đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại Học 2011Coi PT (2) là phương thơm trình ẩn y tmê mẩn số x ta có D " = 9 x 2 trường đoản cú kia ta được nghiệmé y = 5 x + 4 ( 3)êêë y = 4 - x ( 4 )4éx=Þ y=02Txuất xắc (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê5êëx = 0 Þ y = 4éx = 4 Þ y = 02Tgiỏi (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û êëx = 0 Þ y = 4æ 4 öVậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷è cổ 5 øII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP. ĐẶT ẨN PHỤĐiểm quan trọng nhất vào hệ dạng này là phân phát hiện tại ẩn prúc a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) cóngay lập tức vào từng phương thơm trình hoặc xuất hiện sau đó 1 phxay chuyển đổi hằng đẳng thức cơbạn dạng hoặc phxay phân tách cho 1 biểu thức không giống 0.2(1)ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 ylấy ví dụ như 4. Giải hệ pmùi hương trình í 2ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 )Giải .ì x2 + 1ï y + y+x=4ïDễ thấy y = 1 ko thỏa mãn nhu cầu PT(1) bắt buộc HPT Û í 2ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1ïçè y ÷øî2ìa + b = 2x +1giải hệ ta được a = b = 1 từ đó ta có hệ,b = y + x - 2 Þ íĐặt a =ab1=yî2ìx +1 = yíîx + y = 3Hệ này độc giả có thể giải dễ dãi.3ì22ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7()ïví dụ như 5. Giải hệ phương thơm trình íï2 x + 1 = 3ïîx+ yGiải . Điều khiếu nại : x + y ¹ 0322ìï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7()ïHPT Û íïx + y + 1 + x - y = 3x+ yîïGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại Học 2011ìï3a 2 + b 2 = 13 (1)( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í( 2)ïîa + b = 3Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( bởi vì a ³ 2 ) từ bỏ đó ta bao gồm hệ1ì=2ìx + y = 1 ìx = 1ïx + y +x+ yÛíÛííîx - y = 1 î y = 0ïx - y = 1îIII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁPhường HÀM SỐHệ một số loại này ta gặp mặt nhiều sinh sống hai dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f là hàm đơnđiệu trên tập D với x, y ở trong D .Nhiều lúc ta cần được nhận xét ẩn x, y để x, y nằm trong tậpnhưng hàm f solo điệu* Loại đồ vật nhất: Một phương thơm trình vào hệ có dạng f ( x) = f ( y ) , phương thơm trình còn lạigiúp chúng ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đặt lên trên kia hàm f đối kháng điệu.ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1)lấy một ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 84( 2)ïî x + y = 1Giải . Từ PT (2) ta tất cả x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 11Đặt a = x + y +x+ yXét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î < -1;1> gồm f " ( t ) = 3t 2 - 5 t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t cho nên hàm số f (t ) đồngbiến đổi bên trên RNên PT (3) Û a = b cố kỉnh vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4)()Theo nhận xét trên thì a + a 2 + 1 > 0 bắt buộc PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0( mang ln nhị vế )Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thù THPT Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH)(Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3;g" ( a ) =Luyện thi Đại Học 20111- ln 3 2 trường đoản cú (1) suy ra y - 2 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ đang cho tương đương với3122ì 1ì=1+1=ïï y + 3xyxïï xÛííï1 - 12 = 6ï 1 - 3 = -12ïî y + 3 xïî xyy y + 3x21 9-12æyöæyöSuy ra - =Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0.x y y + 3xèxøèxø22yyyTìm được = 3 với = -9 (loại). Với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 .xxxìïlog y xy = log x y (1)Bài toán 4: Giải hệ phương thơm trình: íyx(2)ïî2 + 2 = 3Lời giải: Điều khiếu nại x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 .Từ (1) bao gồm t 2 + t - 2 = 0 với t = log y x .()()æ3öa) Với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ .è2ø121b) Với log y x = -2 , ta được x = 2 . Thế vào (2) được 2 y + 2 y = 3yTrường vừa lòng này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy:+ Nếu y > 1 thì 2 > 2; 2yGiáo viên: LÊ BÁ BẢO1y2>1Þ 2 + 2y1y2(3)> 3.Tổ Tân oán THPT Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH1Luyện thi Đại Học 20111221+ Nếu 0 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 .yææ 3 ööæ3öVậy hệ vẫn mang lại chỉ gồm một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ .è2øè cổ 2 øøèì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0ï22Bài tân oán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ pmùi hương trình:í36 y z - 60 y + 25z = 0ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0îì60 x 2ïy =36 x 2 + 25ïï60 y 2Lời giải: Hệ đã mang đến tương tự với í z =36 y 2 + 25ïï60 z2x=ï36 z2 + 25îHiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Dưới trên đây ta xét x , y, z ¹ 0 .Từ hệ trên ta thấy x , y, z > 0 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:60 x 260 x 260 x 2£== x.y=36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 xTương trường đoản cú ta nhận được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ đó suy ra hệ có một nghiệm nữa5x=y=z= .6ìï x - 1 - y = 8 - x 3Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í4ïî( x - 1) = yLời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta đượcx - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3)2Từ (3) có x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4)Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta tất cả f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 0, "x ³ 1÷Û x = 2 ç Dox -1 +1èøDưới phía trên, xin nêu một bài bác toán vào Đề thi tuyển sinh Đại học tập sớm nhất mà lại nếu như khôngcần sử dụng cho quy định đạo hàm thì khó khăn rất có thể giải quyết và xử lý được.ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1)Bài tân oán 7: (A- 2010) Giải hệ phương thơm trình:í 22(2)îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 735Lời giải: Đk x £ ; y £ .422PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y()ïì2 x = uÞ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v .Đặt íîï 5 - 2 y = vHàm f (t ) = ( t 2 + 1) t bao gồm f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 đề nghị f (t ) luôn luôn đồng phát triển thành bên trên , suy ra:ìx ³ 0ïu = v Û 2 x = 5 - 2y Û í5 - 4x2ïy =2î2æ522öThế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3)è2ø3Nhận thấy x = 0 cùng x = chưa hẳn là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:42æ5öæ 3ög( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x trên ç 0; ÷ .è2øè 4ø44æ 3öæ5öTa tất cả g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) 0, "t đề nghị hàm số f (t ) luôn đồng trở nên nênx= y Û x = y 2 . Thế x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Tìm được x = 1 .yVậy hệ tất cả hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) với ( x; y ) = (1; -1) .BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Giải các hệ pmùi hương trình sau:432 2432 2ïì x - x y + x y = 1ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 91) í 32) í 22ïî x + 2 xy = 6 x + 6ïî x y - x + xy = -1xì2+6y=- x - 2yìï 11x - y - y - x = 1ïy3) í4) íïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3ï x + x - 2 y = x + 3y - 2îìï x 2 + y = y 2 + x5) í x + yx -1ïî2 - 2 = x - yìï x 2 - 12 xy + đôi mươi y 2 = 06) íîïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - yì 1- x23ïï2 x + xy + = 2 y27) í2ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0)ïî(ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 68) í2ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1)2ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2ï9) íæ x -2ö3æ y -1 öïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3)èøèøîGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Tân oán trung học phổ thông Phong Điền
