Gắn hệ trục toạ độ vào hình không gian nhằm giải tân oán đôi lúc là nguyên tắc cực kì có lợi so với hầu như bài xích toán thù cực nhọc vào không khí. Tuy nhiên, Việc lắp trục toạ độ như thế nào nhằm dễ dàng tìm được toạ độ các điểm vào hình thì so với các học viên cũng như thầy giáo đôi khi trở lên tinh vi.
Bạn đang xem: Phương pháp tọa độ hóa giải hình học không gian
Phức tạp sinh sống đó là lúc dạy học sinh lắp toạ độ trong không khí, gia sư nỗ lực gợi ý học sinh thêm trục Oz vào đường cao của hình chop tương tự như khối trụ. Điều này là cực kỳ vượt thãi với ko cần thiết, bởi trục Oz lại là trục không dung đến khi giải theo phương pháp này.
Chúng tôi trình làng cùng với các em học viên và cô giáo cách thức gắn thêm toạ độ khôn xiết đơn giản với hiệu quả trong tính toán trong những số ấy thậm chí không cần vẽ trục Oz vào hình.
Cách 1: Chọn hệ trục toạ độ (Oxyz)
Chọn Ox và Oy là 2 mặt đường vuông góc cùng nhau nghỉ ngơi đáy, O là giao của nó: Việc này cực kỳ dễ dàng do phần đa lòng đều có thể chọn được, ví dụ điển hình như:
§ Tam giác: gắn vào mặt đường cao với cạnh đáy tương ứng
§ Hình chữ nhật, vuông: đã tích hợp 2 cạnh
§ Hình thoi: đã tích hợp 2 mặt đường chéo
§ Hình thang vuông: gắn vào 2 cạnh góc vuông
Oz ko nên vẽ vào: giả dụ vẽ thì nó kẻ từ bỏ O với song tuy vậy với mặt đường cao.
Cách 2: Xác định toạ độ các điểm gồm liên quan (có thể xác định toạ độ toàn bộ các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Liệt kê toạ độ các điểm ở đáy: Vô thuộc dễ ợt vì chưng ta hoàn toàn cai quản bề ngoài và kích thước đáy.
Tìm toạ độ các điểm trên cao, lơ lửng: Quyết định vì chưng toạ độ chân đường cao H
§ Giả sử toạ độ H(a;b;0) vẫn kiếm được ở đáy
§ Thì toạ độ đỉnh S (hoặc điểm gồm H là hình chiếu) là S(a;b;h) cùng với h là con đường cao của hình chop hoặc trụ vẫn buộc phải kiếm được trước đó
Cách 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ nhằm xử lý bài xích toán
Các dạng toán thù thường xuyên gặp:
· Độ nhiều năm đọan thẳng
· Khoảng cách trường đoản cú điểm đến khía cạnh phẳng
· Khoảng bí quyết từ bỏ điểm đến mặt đường thẳng
· Khoảng phương pháp thân hai tuyến phố thẳng
· Góc thân hai tuyến đường thẳng
· Góc thân đường thẳng và khía cạnh phẳng
· Góc thân nhì khía cạnh phẳng
· Thể tích khối đa diện
· Diện tích thiết diện
· Chứng minh các quan hệ giới tính tuy vậy tuy vậy , vuông góc
· Bài toán rất trị, quỹ tích
B. PHƯƠNG PHÁPhường GIẢI TOÁN
1. Hình chóp tam giác
Dạng 1. Dạng tam diện vuông
lấy một ví dụ 1: Cho hình chóp (O.ABC) bao gồm (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng đôi một. Call (M) là điểm cố định và thắt chặt ở trong tam giác (ABC) có khoảng cách lần lượt đến các (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight)) là (1), (2), (3). Giá trị (a,b,c) để thể tích khối hận chóp (O.ABC)nhỏ tuổi độc nhất là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình mẫu vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a; m 0; m 0 ight)), (Bleft( 0; m b; m 0 ight)), (Cleft( 0; m 0; m c ight)).
(dleft< M, m left( OAB ight) ight> m = m 3)( Rightarrow )(z_M = 3). Tương tự ( Rightarrow )(Mleft( 1;,,2;,,3 ight)).
PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). Vì(M in (ABC)) Þ(frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).
(V_O.ABC = frac16abc) (2).
((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27).
(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).
Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)
Dạng 2. Dạng tứ đọng diện gồm một cạnh vuông góc một khía cạnh trên góc nhọn của tam giác vuông
lấy ví dụ 2: Tứ đọng diện (S.ABC) có cạnh (SA) vuông góc cùng với đáy với (Delta ABC) vuông trên (C). Độ dài của những cạnh (SA = 4), (AC = 3), (BC = 1). Gọi (M) là trung điểm của cạnh (AB), (H) là vấn đề đối xứng của (C) qua (M). Tính góc(altrộn ) là góc phẳng nhị diện (left< H,,SB,,C ight>) (tính mang đến độ, phút ít, giây)
(alpha = 82^o35"57""). B. (altrộn = 97^o24"2""). C. (alpha = 63^o30"). D. (altrộn = 15^o14"13"").Hướng dẫn giải
Cách 1:
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như hình vẽ: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( 1;,3;,0 ight)); (Cleft( 0;,3;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,4 ight)) cùng (Hleft( 1;,0;,0 ight))
Dựng mp(left( P ight)) qua (H) vuông góc (SB) trên (I) giảm đường trực tiếp (SC) tại (K), dễ thấy (left< H,,SB,,C ight>)=(left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight))(1)
* Tìm toạ độ véc tơ
·(overrightarrow SB = left( 1;,3;, - 4 ight)) cùng (overrightarrow SC = left( 0;,3;, - 4 ight)),
* Phương trình tsi mê số con đường thẳng (SB:left{ eginarraylx = 1 + t\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), (SC:left{ eginarraylx = 0\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), pmùi hương trình mp (left( P ight):x + 3y - 4z - 1 = 0)
* Tìm toạ độ giao điểm (I = SB cap left( P. ight)) và (K = SC cap left( P. ight))Þ(Ileft( frac1726;frac5126;frac1813 ight)) , (Kleft( 0;frac5126;frac1813 ight)). Toạ độ véctơ (overrightarrow IH = left( frac926; - frac5126; - frac1813 ight)), (overrightarrow IK = left( - frac1726;0;0 ight)).
·(cos alpha = cos left< H,,SB,,C ight> = cos left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight) = fracoverrightarrow IH .overrightarrow IK ) =(frac - frac153676frac3sqrt 442 26.frac1726 approx - 0.1427)
·(alpha = 98^o12"13"")
Cách 2:
- Gắn Ox = CA, Oy = CB. Không cần Oz thì ta tất cả tức thì (C(0;0;0)); A(3;0;0); B(0;1;0). Có h = 4 cùng A là chân đường cao cần S(3;0;4).
- H đối xứng với C qua M phải H = B + A – C = (3;1;0).
- Bây giờ đồng hồ ta thấy rõ ý tưởng phát minh của biện pháp đặt này. Trục Oz không tồn tại mục đích gì nhưng mà là chiều cao h. Độ cao h ta buộc phải tính được mặc dù ta có làm theo phương pháp đính thêm toạ độ hay không.
Dạng 3. Dạng hình chóp tam giác những (S.ABC):
Giả sử cạnh tam giác số đông bằng (a) cùng đường cao bằng (h). call (O) là trọng tâm tam giác rất nhiều (ABC).
Cách 1:
Trong (mpleft( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc với (OA). Đặt (SO = h), chọn hệ trục tọa độ nlỗi mẫu vẽ ta được:
(Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0;0;h ight)). Suy ra toạ độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight))
Cách 2:
- Gắn Ox = IA, Oy = IB thì dễ dàng liệt kê toạ độ các điểm dưới đáy, khôn xiết đẹp nhất với là các số nguyên: (A(fracsqrt 3 a2;0;0)); (B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là trung tâm tam giác ABC bắt buộc (O(fracsqrt 3 a6;0;0))
- Có O là hình chiếu của S nên (S(fracsqrt 3 a6;0;h)): Rõ rang ta đâu bắt buộc mang đến Oz !!!
2. Hình chóp tứ đọng giác
Dạng 1. Hình chóp (S.ABCD) gồm cạnh (SA ot left( ABCD ight)) với đáy (ABCD) là hình vuông (hoặc hình chữ nhật): Ta lựa chọn hệ trục toạ độ nhỏng dạng tam diện vuông
Chọn nhỏng hình mẫu vẽ là thuận tiện nhất
Dạng 2. Hình chóp tđọng giác phần lớn (S.ABCD) có lòng (ABCD) là hình vuông vắn (hoặc hình thoi) trọng tâm (O) và bao gồm mặt đường cao (SO ot left( ABCD ight)):
Ta chọn hệ trục toạ độ: Tia (OA), (OB), (OS) theo lần lượt là (Ox), (Oy), (Oz). Giả sử số đo (SO = h), (OA = a), (OB = b) thì ta bao gồm toạ độ (Oleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( a;,0;,0 ight)), (Bleft( 0;,b;,0 ight)), (Sleft( 0;,0;,h ight)) Þ(Cleft( - a;,0;,0 ight)), (Dleft( 0;, - b;,0 ight)).
Dạng 3. Hình chóp (S.ABCD) gồm lòng (ABCD) là hình chữ nhật cùng có cạnh (AB = b), tam giác (SAD) phần đa cạnh (a) với mp(left( SAD ight) ot left( ABCD ight))
Cách 1: Gắn toạ độ như mẫu vẽ. Đây là biện pháp cố gắng đã nhập vào chân đường cao để có Oz.Ta điện thoại tư vấn (H)là trung điểm (AD), vào (left( ABCD ight)) ta vẽ tia (Hy ot AD). Ta chọn hệ trục toạ độ (Hxyz): (Hleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( fraca2; m0;0 ight)), ( mBleft( fraca2; mb;0 ight)), ( mCleft( - fraca2; mb;0 ight)), ( mDleft( - fraca2; m0;0 ight)), ( mSleft( 0; m0;fracasqrt 3 2 ight))
Cách 2:
- Gắn Ox=DC; Oy=DA như hình thì D(0;0;0), C(b;0;0) ; A(0;a;0); B(b;a;0); (H(0;fraca2;0)) vì chưng là trung điểm DA.
- H là hình chiếu của S với đường cao chóp là (fracasqrt 3 2) đề xuất (S(0;fraca2;fracasqrt 3 2))
3. Hình lăng trụ đứng
Dạng 1. Hình lập phương thơm (ABCD.A"B"C"D") cạnh bởi (a):
Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;a;0)), ( mD(0;a m;0)); (A"(0;0;a)), (B"(a;0;a)), (C"(a;a;a)), ( mD"(0;a m;a m))
Dạng 2. Hình vỏ hộp chữ nhật (ABCD.A"B"C"D") cạnh(AB = a), (AD = b), (AA" = c):
Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;b;0)), (D m(0;b m;0)); (A"(0;0;c)), (B"(a;0;c)), (C"(a;b;c)), (D" m(0;b m;c))
Dạng 3. Hình vỏ hộp đứng đáy hình thoi (ABCD.A"B"C"D"):
Chọn hệ trục toạ độ sao cho: cội trùng với giao điểm (O) của hai tuyến đường chéo (AC), (BD); nhị trục (Ox,Oy) theo thứ tự đựng hai đường chéo cánh của hình thoi, trục (Oz) đi qua trọng tâm nhị lòng.
Xem thêm: Vệ Hồn Địa Ngục Bns - Tất Cả Thông Tin Về Blade And Soul
B. BÀI TẬP CÓ GIẢI
Câu 1: Cho tứ đọng diện (ABCD) bao gồm các cạnh (AB,AC,AD) vuông góc nhau từng song một, gồm độ nhiều năm (AB = 3), (AC = AD = 4). Tính khoảng cách (d) từ điểm (A) mang đến mặt phẳng (left( BCD ight))
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)nlỗi sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Dleft( 4;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,4;,0 ight)); (Bleft( 0;,0;,3 ight))
* Tìm phương thơm trình mặt phẳng (left( BCD ight)): (fracx4 + fracy4 + fracz3 = 1)tốt (3x + 3y + 4z - 12 = 0)
* Tính khoảng cách (d)= (dleft< A,left( BCD ight) ight>) =(frac - 12 ightsqrt 3^2 + 3^2 + 4^2 = frac6sqrt 34 17)
Câu 2: Cho tứ đọng diện (ABCD) bao gồm (AD) vuông góc với mặt phẳng (left( ABC ight)) cùng (AD = a), bao gồm tam giác (ABC) vuông tại (A) với (AC = b), (AB = c). Tính diện tích (S) của tam giác (BCD) theo (a,b,c).
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)nlỗi sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( c;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,b;,0 ight)); (Dleft( 0;,0;,a ight))
* Tìm toạ độ véc tơ
· Cạnh của tam giác (BCD): (overrightarrow BC = left( - c;,b;,0 ight)), (overrightarrow BD = left( - c;,0;,a ight))
· Véctơ tích có hướng (left< overrightarrow BC ;overrightarrow BD ight> = left( ab;,ac;,bc ight))
* Sử dụng bí quyết tính diện tích S tam giác
·(S_BCD = frac12left| ,left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight>, ight|) =(frac12sqrt a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 )
Câu 3: Cho tứ diện (O.ABC) có các tam giác (OAB), (OBC), (OCA) đều là tam giác vuông tại đỉnh (O). call (altrộn m , eta m , gamma ) lần lượt là góc đúng theo vị những phương diện phẳng (left( OBC ight)), (left( OCA ight)), (left( OAB ight)) với mặt phẳng (left( ABC ight)). Tìm hệ thức lượng giác contact giữa (alpha m , eta m , gamma ).
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O(0;0;0)); (A(a;0;0)); (B(0;b;0)); (C(0;0;c)).
(overrightarrow AB = left( - a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( - a;,,0;,,c ight))
* Tìm vectơ pháp tuyến của
·Mặt phẳng (left( ABC ight)): (overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left( bc;,,ca;,,ab ight))
·Mặt phẳng (left( OBC ight)): (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vì: (Ox ot (OBC)))
·Mặt phẳng (left( OCA ight)): (overrightarrow j = left( 0;,,1;,,0 ight)) (vì: (Oy ot (OCA)))
·Mặt phẳng (left( OAB ight)): (overrightarrow k = left( 0;,,0;,,1 ight)) (vì: (Oz ot (OAB)))
* Sử dụng cách làm tính góc thân nhì mặt phẳng
·(cos altrộn = cos left< left( OBC ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos altrộn = fracsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )
·(cos eta = cos left< left( OCA ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos eta = frac ac ightsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )
·Þ(cos gamma = fracleftsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )
* Biến đổi cùng kết luận(cos gamma = cos left< left( OAB ight),left( ABC ight) ight>)
·(cos ^2alpha = fracb^2c^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)
·(cos ^2eta = fracc^2a^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)
·(cos ^2gamma = fraca^2b^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)
Vậy (cos ^2altrộn + cos ^2eta + cos ^2gamma = 1)
Câu 4: Cho hình chóp (SABC) bao gồm đáy (ABC) là tam giác vuông cân nặng với(AB = AC = a), có (SA)vuông góc cùng với phương diện phẳng (left( ABC ight)) với (SA = fracasqrt 2 2). Tính góc (varphi ) thân nhì mặt phẳng (left( SAC ight)) và (left( SBC ight))
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)nlỗi sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).
* Tìm vectơ pháp tuyến của
·Mặt phẳng .(left( SAC ight)).: (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vị (Ox ot (SAC)))
·Mặt phẳng (left( SBC ight)): bao gồm cặp véc tơ chỉ pmùi hương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight)), (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þvéc tơ pháp đường là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) tốt là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))
* Tính góc thân nhị mặt phẳng (left( SAC ight)) và (left( SBC ight))
(cos varphi = fracleft,.,left = frac12)Þ(varphi = 60^o).
Câu 5: Cho hình chóp (SABC) gồm đáy (ABC) là tam giác vuông cân với(AB = AC = a), tất cả (SA)vuông góc với mặt phẳng (left( ABC ight)) và (SA = fracasqrt 2 2). Tính khoảng cách (d) giữa hai tuyến đường trực tiếp (AI) với (SC), cùng với (I) là trung điểm cạnh (BC).
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)nlỗi sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).
(overrightarrow AB = left( a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( 0;a;0 ight))
* Tìm vectơ pháp đường của
·Mặt phẳng (left( SAC ight)): (overrightarrow i = left( 1;0;0 ight)) (do (Ox ot (SAC)))
·Mặt phẳng (left( SBC ight)): tất cả cặp véc tơ chỉ phương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight);overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þ véc tơ pháp tuyến là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) tốt là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))
* Tính khoảng cách (d) thân hai tuyến phố trực tiếp (AI) cùng (SC)
· Vì I là trung điểm của BC Þ(Ileft( fraca2;fraca2;0 ight))đề nghị ta có:(overrightarrow AI = left( fraca2;fraca2;0 ight)) , (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight)), (left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> = left( - fraca^2sqrt 2 4;fraca^2sqrt 2 4;fraca^22 ight)), (overrightarrow AS = left( 0;0;fracasqrt 2 2 ight))Þ(left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight>.overrightarrow AS = fraca^3sqrt 2 4) , nhưng (left| left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> ight| = sqrt fraca^48 + fraca^48 + fraca^44 = fraca^2sqrt 2 ).
· Vậy khoảng cách thân hai tuyến đường trực tiếp AI cùng SC là (fleft( AI,SC ight) = fracleft = fraca^3sqrt 2 4.fracsqrt 2 a^2 = fraca2)
Câu 6: Cho hình chóp (O.ABC) bao gồm (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng song một. Call M là điểm thắt chặt và cố định ở trong tam giác (ABC) tất cả khoảng cách theo thứ tự mang lại những (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight)) là 1, 2, 3. Giá trị(a,b,c) nhằm thể tích khối hận chóp(O.ABC)nhỏ tuyệt nhất là
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình mẫu vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a;0;0 ight)), (Bleft( 0;b;0 ight)), (Cleft( 0;0;c ight)).
(dleft< M,left( OAB ight) ight> = 3).( Rightarrow ) . (z_M = 3).Tương từ bỏ ( Rightarrow )(Mleft( 1;,2;,3 ight)).
PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). (M in (ABC) Rightarrow frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).
(V_O.ABC = frac16abc) (2).
((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27) .
(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).
Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)
Câu 7: Cho hình chóp tam giác những (S.ABC) có độ dài cạnh đáy là (a). call (M,N) lần lượt tà tà trung điểm (SB,SC). Cho biết (left( AMN ight)) vuông góc với (SBC); Tính theo (a) diện tích (Delta AMN).
Hướng dẫn giải
Cách 1:
hotline (O) là hình chiếu của (S) bên trên (left( ABC ight)), ta suy ra (O) là trung tâm (Delta ABC). Gọi (I) là trung điểm của (BC), ta có: (AI = fracsqrt 3 2BC = fracasqrt 3 2)Þ(OA = fracasqrt 3 3), (OI = fracasqrt 3 6).
Trong mp(left( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc cùng với (OA). Đặt (SO = h), lựa chọn hệ trục tọa độ nhỏng hình mẫu vẽ ta được: (Oleft( 0; m 0; m 0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0; m 0; m h ight))
Suy ra toa độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight)), ( mMleft( - fracasqrt 3 12 m;fraca4 m;frach2 ight))với (Nleft( - fracasqrt 3 12 m; - fraca4 m;frach2 ight)).
* Véctơ pháp đường mp(left( AMN ight)): (overrightarrow n __left( AMN ight) = left< overrightarrow AM ,overrightarrow AN ight>) =(left( fracah4 m;0;frac5a^2sqrt 3 24 ight)), mp(left( SBC ight)): (overrightarrow n __left( SBC ight) = left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight>) =(left( - ah m;0;fraca^2sqrt 3 6 ight)). Từ giả thiết ((AMN) ot (SBC))Þ(overrightarrow n __left( AMN ight).overrightarrow n __left( SBC ight) = 0)ÞÞ(h^2 = frac5a^212) .
* Diện tích tam giác (AMN): (S_Delta AMN = frac12left| left< overrightarrow AM , m overrightarrow AN ight> ight| = fraca^2sqrt 10 16)
Cách 2: Gắn IA = Ox, IB = Oy ta bao gồm (A(fracasqrt 3 2;0;0);B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là trung tâm trọng điểm giác ABC nên (O(fracasqrt 3 6;0;0))( Rightarrow )(S(fracasqrt 3 6;0;h)) . Đến trên đây ta tính tân oán như bên trên.
Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác (ABC.A_1B_1C_1) bao gồm đáy là tam giác các cạnh bởi (a), có(AA_1 = 2a) với vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)). Call (D) là trung điểm của (BB_1); Lấy điểm (M) di động bên trên cạnh (AA_1). Tìm quý giá lớn số 1, bé dại duy nhất của diện tích S tam giác (MC_1D).
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz) làm sao để cho (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (B in Oy): (Bleft( 0;,a;,0 ight)), (A_1 in Oz): (A_1left( 0;,0;,2a ight))Þ(C_1left( fracasqrt 3 2;,fraca2;,2a ight)) với (Dleft( 0;,a;,a ight))
Do (M) cầm tay bên trên (AA_1) bao gồm tọa độ (Mleft( 0;,0;,t ight)) cùng với (t in left< 0;,,2a ight>)
Ta có: (S_Delta DC_1M = frac12left| left< overrightarrow DC _1,overrightarrow DM ight> ight|)
(overrightarrow DC _1 = left( fracasqrt 3 2; - fraca2;a ight)), (overrightarrow DM = left( 0; - a;t - a ight))( Rightarrow left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> = )(frac - a2left( t - 3a;sqrt 3 (t - a);asqrt 3 ight))Þ(left| left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> ight| = fraca2sqrt (t - 3a)^2 + 3(t - a)^2 + 3a^2 = fraca2sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 ). (S_Delta DC_1M = frac12.fraca2.sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 )
Xét (fleft( t ight) = 4t^2 - 12at + 15a^2) với (t in left< 0;,,2a ight>). Ta gồm (f"left( t ight) = 8t - 12a) ; (f"left( t ight) = 0 Leftrightarrow t = frac3a2)
Giá trị lớn nhất của hàm số đã đạt được Khi (t = 0)(left( M equiv A ight)), vậy GTLN của diện tích là (S_MC_1D = fraca^2sqrt 15 4)